A análise de distribuições conjuntas, marginais, esperanças e variâncias é fundamental em probabilidade e estatística. Neste artigo, vamos explorar esses conceitos detalhadamente, utilizando um exemplo prático para ilustrar como determinar distribuições marginais e calcular as esperanças e variâncias.
Distribuição Conjunta
A distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é representada por uma tabela que mostra a probabilidade conjunta de diferentes combinações de valores de X e Y. Considere a seguinte tabela de distribuição conjunta:
| X \ Y | y1 | y2 | y3 |
|---|---|---|---|
| x1 | 0.1 | 0.2 | 0.1 |
| x2 | 0.2 | 0.1 | 0.3 |
Tabela de Distribuição Conjunta
Esta tabela mostra as probabilidades conjuntas $P(X=x_i, Y=y_j)$ para diferentes valores de X e Y. Por exemplo, $P(X=x1, Y=y2) = 0.2$.
Distribuições Marginais
As distribuições marginais são obtidas somando as probabilidades conjuntas ao longo das linhas ou colunas da tabela de distribuição conjunta.
Distribuição Marginal de X
Para encontrar a distribuição marginal de X, somamos as probabilidades conjuntas ao longo de cada linha:
$ P(X=x1) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4 $
$ P(X=x2) = 0.2 + 0.1 + 0.3 = 0.6 $
Portanto, a distribuição marginal de X é:
| X | P(X) |
|---|---|
| x1 | 0.4 |
| x2 | 0.6 |
Distribuição Marginal de Y
Para encontrar a distribuição marginal de Y, somamos as probabilidades conjuntas ao longo de cada coluna:
$ P(Y=y1) = 0.1 + 0.2 = 0.3 $
$ P(Y=y2) = 0.2 + 0.1 = 0.3 $
$ P(Y=y3) = 0.1 + 0.3 = 0.4 $
Portanto, a distribuição marginal de Y é:
| Y | P(Y) |
|---|---|
| y1 | 0.3 |
| y2 | 0.3 |
| y3 | 0.4 |
Esperança e Variância
Esperança de X e Y
A esperança (ou valor esperado) de uma variável aleatória é uma medida central que indica a média ponderada de todos os valores possíveis da variável. A esperança de X $(E(X))$ e a esperança de Y $(E(Y))$ são calculadas como:
$ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i) $
$ E(Y) = \sum_{j} y_j \cdot P(Y=y_j) $
Para as distribuições marginais encontradas:
$ E(X) = x1 \cdot P(X=x1) + x2 \cdot P(X=x2) $
$ E(X) = x1 \cdot 0.4 + x2 \cdot 0.6 $
$ E(Y) = y1 \cdot P(Y=y1) + y2 \cdot P(Y=y2) + y3 \cdot P(Y=y3) $
$ E(Y) = y1 \cdot 0.3 + y2 \cdot 0.3 + y3 \cdot 0.4 $
Variância de X e Y
A variância é uma medida de dispersão que indica o quanto os valores da variável aleatória se afastam da esperança. A variância de X $(Var(X))$ e a variância de Y $(Var(Y))$ são calculadas como:
$ Var(X) = \sum_{i} (x_i – E(X))^2 \cdot P(X=x_i) $
$ Var(Y) = \sum_{j} (y_j – E(Y))^2 \cdot P(Y=y_j) $
Esses cálculos permitem entender a variabilidade dos dados em relação aos seus valores esperados.
Conclusão
A determinação de distribuições marginais, esperanças e variâncias é crucial para a análise de dados estatísticos. Utilizando distribuições conjuntas, podemos derivar informações importantes sobre as variáveis envolvidas, permitindo uma compreensão mais profunda dos dados e facilitando a tomada de decisões informadas. Este guia detalhado fornece as bases necessárias para realizar esses cálculos e aplicar esses conceitos em problemas reais de probabilidade e estatística.