A subtração é uma das operações fundamentais da matemática, essencial tanto para o aprendizado básico quanto para aplicações avançadas. Este artigo explora o algoritmo da subtração em detalhes, fornecendo uma compreensão completa e profunda desse conceito.
Conceito de Subtração
A subtração é a operação matemática que determina a diferença entre dois números. Representada pelo símbolo “$-$”, envolve um minuendo (o número do qual se subtrai) e um subtraendo (o número a ser subtraído). O resultado é chamado de diferença.
Exemplo de Subtração
\(8 – 3 = 5 \)
\( 10 – 5 = 5 \)
\( 15 – 7 = 8 \)
\( 20 – 9 = 11 \)
\( 25 – 12 = 13 \)
\( 30 – 15 = 15 \)
Esses exemplos ilustram a operação de subtração, onde subtraímos o segundo número do primeiro para obter o resultado.
Propriedades da Subtração
1. Propriedade Não Comutativa
Ao contrário da adição, a subtração não é comutativa. A ordem dos números afeta o resultado.
A propriedade não comutativa da subtração indica que a ordem dos operandos altera o resultado. Em outras palavras, \(a – b \neq b – a\).
\[ a – b \neq b – a \]
A) \(10 – 5 \neq 5 – 10\)
\(10 – 5 = 5\)
\(5 – 10 = -5\)
B) \(15 – 7 \neq 7 – 15\)
\(15 – 7 = 8\)
\(7 – 15 = -8\)
C) \(20 – 3 \neq 3 – 20\)
\(20 – 3 = 17\)
\(3 – 20 = -17\)
D) \(8 – 4 \neq 4 – 8\)
\(8 – 4 = 4\)
\(4 – 8 = -4\)
E) \(12 – 6 \neq 6 – 12\)
\(12 – 6 = 6\)
\(6 – 12 = -6\)
Estes exemplos demonstram que a subtração não é comutativa, pois a troca da ordem dos operandos resulta em diferentes resultados.
2. Propriedade Não Associativa
A subtração também não é associativa. A forma como os números são agrupados altera o resultado.
A propriedade não associativa na subtração indica que a ordem na qual os números são subtraídos importa e altera o resultado. Em outras palavras, \((a – b) – c\) não é igual a \(a – (b – c)\).
\[ (a – b) -c \neq a- (b – c) \]
Exemplo
A) \((10 – 3) – 2 \neq 10 – (3 – 2)\)
\((10 – 3) – 2 = 7 – 2 = 5\)
\(10 – (3 – 2) = 10 – 1 = 9\)
B) \((15 – 5) – 4 \neq 15 – (5 – 4)\)
\((15 – 5) – 4 = 10 – 4 = 6\)
\(15 – (5 – 4) = 15 – 1 = 14\)
C) \((20 – 8) – 6 \neq 20 – (8 – 6)\)
\((20 – 8) – 6 = 12 – 6 = 6\)
\(20 – (8 – 6) = 20 – 2 = 18\)
D) \((30 – 10) – 5 \neq 30 – (10 – 5)\)
\((30 – 10) – 5 = 20 – 5 = 15\)
\(30 – (10 – 5) = 30 – 5 = 25\)
E) \((25 – 7) – 3 \neq 25 – (7 – 3)\)
\((25 – 7) – 3 = 18 – 3 = 15\)
\(25 – (7 – 3) = 25 – 4 = 21\)
3. Subtração e o Elemento Neutro
O elemento neutro na subtração é zero. Qualquer número subtraído de zero é ele mesmo:
\[ a – 0 = a \]
Exemplos
\[15 – 0 = 15 \]
\( 8 – 0 = 8 \)
\( 14 – 0 = 14 \)
\( 23 – 0 = 23 \)
\( 6 – 0 = 6 \)
\( 19 – 0 = 19 \)
Em cada exemplo, subtrair zero de um número resulta no próprio número.
4. Subtração de um Número por Ele Mesmo
Qualquer número subtraído por ele mesmo resulta em zero:
\[ a – a = 0 \]
Exemplo
\( 9 – 9 = 0 \)
\( 5 – 5 = 0 \)
\( 12 – 12 = 0 \)
\( 7 – 7 = 0 \)
\( 20 – 20 = 0 \)
\( 15 – 15 = 0 \)
Em cada exemplo, subtrair um número por ele mesmo resulta em zero.
Algoritmo da Subtração
Passos do Algoritmo
- Alinhar os Números: Escrever os números a serem subtraídos um abaixo do outro, alinhando as casas decimais.
- Subtrair as Unidades: Começar pela coluna da direita (unidades) e subtrair os números.
- Emprestar se Necessário: Se o número superior for menor que o inferior, “emprestar” 1 da coluna imediatamente à esquerda.
- Continuar Subtraindo: Repetir o processo para cada coluna até a coluna mais à esquerda.
Exemplo de Algoritmo da Subtração
Vamos subtrair 345 de 678.
678
- 345
_____- Unidades:
\[ 8 – 5 = 3 \] - Dezenas:
\[ 7 – 4 = 3 \] - Centenas:
\[6 – 3 = 3 \]
Resultado:
678
- 345
_____
333Situação com Empréstimo
Vamos subtrair 438 de 706.
706
- 438
_____- Unidades:
\(6 – 8 \) (impossível, emprestar 1 das dezenas, 6 vira 16)
\[ 16 – 8 = 8 \] - Dezenas:
\( 0 – 3 \) (impossível, emprestar 1 das centenas, 0 vira 10)
\[ 10 – 3 = 7 \] - Centenas:
\[ 6 – 4 = 2 \]
Resultado:
706
- 438
_____
268Exercícios Práticos Resolvidos
Exercício 1
Subtraia 253 de 487.
\[ 487 – 253 = ? \]
Exercício 2
Subtraia 605 de 912 utilizando o método de empréstimo.
\[ 912 – 605 = ? \]
Respostas
- Exercício 1:
\[ 487 – 253 = 234 \] - Exercício 2:
\[ 912 – 605 = 307 \]
50 Exercícios de Subtração de Números Inteiros
| Subtração Simples | Resposta | Subtração Sucessiva | Resposta |
| 1. \( 10 – 5 = \) | 11. \( 20 – 5 – 3 = \) | ||
| 2. \( 15 – 7 = \) | 12. \( 25 – 7 – 4 = \) | ||
| 3. \( 20 – 3 = \) | 13. \( 30 – 10 – 5 = \) | ||
| 4. \( 8 – 4 = \) | 14. \( 15 – 6 – 2 = \) | ||
| 5. \( 12 – 6 = \) | 15. \( 40 – 20 – 10 = \) | ||
| 6. \( 9 – 2 = \) | 16. \( 35 – 15 – 5 = \) | ||
| 7. \( 17 – 8 = \) | 17. \( 50 – 25 – 10 = \) | ||
| 8. \( 11 – 9 = \) | 18. \( 45 – 20 – 5 = \) | ||
| 9. \( 14 – 5 = \) | 19. \( 60 – 30 – 15 = \) | ||
| 10. \( 19 – 10 = \) | 20. \( 55 – 25 – 10 = \) |
| Subtração com 3 Algarismos | Resposta | Subtração com Empréstimo | Resposta |
| 1. \( 345 – 123 = \) | 11. \( 403 – 197 = \) | ||
| 2. \( 567 – 234 = \) | 12. \( 512 – 298 = \) | ||
| 3. \( 789 – 456 = \) | 13. \( 634 – 459 = \) | ||
| 4. \( 901 – 678 = \) | 14. \( 723 – 487 = \) | ||
| 5. \( 112 – 345 = \) | 15. \( 845 – 389 = \) | ||
| 6. \( 234 – 567 = \) | 16. \( 962 – 674 = \) | ||
| 7. \( 456 – 789 = \) | 17. \( 571 – 283 = \) | ||
| 8. \( 678 – 901 = \) | 18. \( 682 – 495 = \) | ||
| 9. \( 123 – 112 = \) | 19. \( 794 – 386 = \) | ||
| 10. \( 345 – 234 = \) | 20. \( 815 – 497 = \) |
Conclusão
O algoritmo da subtração é uma ferramenta essencial na matemática, utilizada em diversas situações práticas e teóricas. Compreender suas propriedades e dominar o processo de empréstimo são fundamentais para resolver problemas de subtração com eficiência e precisão.
Praticar esses conceitos através de exemplos e exercícios ajudará a reforçar o entendimento e a aplicação correta do algoritmo da subtração.