Distribuições Marginais, Esperanças e Variâncias: Um Guia Completo

A análise de distribuições conjuntas, marginais, esperanças e variâncias é fundamental em probabilidade e estatística. Neste artigo, vamos explorar esses conceitos detalhadamente, utilizando um exemplo prático para ilustrar como determinar distribuições marginais e calcular as esperanças e variâncias.

Distribuição Conjunta

A distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é representada por uma tabela que mostra a probabilidade conjunta de diferentes combinações de valores de X e Y. Considere a seguinte tabela de distribuição conjunta:

X \ Y	y1	y2	y3
x1	0.1	0.2	0.1
x2	0.2	0.1	0.3

Tabela de Distribuição Conjunta

Esta tabela mostra as probabilidades conjuntas $P(X=x_i, Y=y_j)$ para diferentes valores de X e Y. Por exemplo, $P(X=x1, Y=y2) = 0.2$.

Distribuições Marginais

As distribuições marginais são obtidas somando as probabilidades conjuntas ao longo das linhas ou colunas da tabela de distribuição conjunta.

Distribuição Marginal de X

Para encontrar a distribuição marginal de X, somamos as probabilidades conjuntas ao longo de cada linha:

$ P(X=x1) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4 $
$ P(X=x2) = 0.2 + 0.1 + 0.3 = 0.6 $

Portanto, a distribuição marginal de X é:

X	P(X)
x1	0.4
x2	0.6

Distribuição Marginal de Y

Para encontrar a distribuição marginal de Y, somamos as probabilidades conjuntas ao longo de cada coluna:

$ P(Y=y1) = 0.1 + 0.2 = 0.3 $
$ P(Y=y2) = 0.2 + 0.1 = 0.3 $
$ P(Y=y3) = 0.1 + 0.3 = 0.4 $

Portanto, a distribuição marginal de Y é:

Y	P(Y)
y1	0.3
y2	0.3
y3	0.4

Esperança e Variância

Esperança de X e Y

A esperança (ou valor esperado) de uma variável aleatória é uma medida central que indica a média ponderada de todos os valores possíveis da variável. A esperança de X $(E(X))$ e a esperança de Y $(E(Y))$ são calculadas como:

$ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i) $
$ E(Y) = \sum_{j} y_j \cdot P(Y=y_j) $

Para as distribuições marginais encontradas:

$ E(X) = x1 \cdot P(X=x1) + x2 \cdot P(X=x2) $
$ E(X) = x1 \cdot 0.4 + x2 \cdot 0.6 $

$ E(Y) = y1 \cdot P(Y=y1) + y2 \cdot P(Y=y2) + y3 \cdot P(Y=y3) $
$ E(Y) = y1 \cdot 0.3 + y2 \cdot 0.3 + y3 \cdot 0.4 $

Variância de X e Y

A variância é uma medida de dispersão que indica o quanto os valores da variável aleatória se afastam da esperança. A variância de X $(Var(X))$ e a variância de Y $(Var(Y))$ são calculadas como:

$ Var(X) = \sum_{i} (x_i – E(X))^2 \cdot P(X=x_i) $
$ Var(Y) = \sum_{j} (y_j – E(Y))^2 \cdot P(Y=y_j) $

Esses cálculos permitem entender a variabilidade dos dados em relação aos seus valores esperados.

Conclusão

A determinação de distribuições marginais, esperanças e variâncias é crucial para a análise de dados estatísticos. Utilizando distribuições conjuntas, podemos derivar informações importantes sobre as variáveis envolvidas, permitindo uma compreensão mais profunda dos dados e facilitando a tomada de decisões informadas. Este guia detalhado fornece as bases necessárias para realizar esses cálculos e aplicar esses conceitos em problemas reais de probabilidade e estatística.