Proporcionalidade
A proporcionalidade é uma das relações mais simples e comuns entre grandezas na matemática, química e física. A ideia mais conhecida é a proporcionalidade direta, muito usada no cotidiano e facilmente resolvida por meio da regra de três. Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre seus valores permanece constante. Essa constante recebe o nome de constante de proporcionalidade.
Definição
De forma geral, proporcionalidade é uma relação que pode ocorrer entre duas funções reais definidas no mesmo domínio. Dizemos que uma função é proporcional a outra quando existe uma constante real que mantém a razão entre os valores das funções sempre igual.
Assim, para um conjunto \(X \subseteq \mathbb{R}\) e duas funções \(f, g : X \to \mathbb{R}\), afirma-se que:
\[
f \propto g \quad \text{se e somente se existe } k \in \mathbb{R} \text{ tal que } \frac{f(x)}{g(x)} = k \quad \forall x \in X.
\]
Quando essa relação é verdadeira, o valor de (k) será sempre o mesmo ao longo de todo o domínio, podendo aparecer como:
\[
k = \frac{f(x)}{g(x)} \quad \text{ou} \quad k = \frac{g(x)}{f(x)}.
\]
Essas duas formas são inversas multiplicativas uma da outra.
Propriedades da Proporcionalidade
A relação de proporcionalidade possui três características importantes: é reflexiva, simétrica (comutativa) e transitiva. Por isso, ela é considerada uma relação de equivalência.
1. Reflexiva
Toda função é proporcional a si própria:
\[
f \propto f
\]
Isso ocorre porque:
\[
\frac{f(x)}{f(x)} = 1.
\]
Nesse caso, existe apenas uma constante de proporcionalidade.
2. Simétrica (ou Comutativa)
Se (f) é proporcional a (g), então (g) também é proporcional a (f):
\[
f \propto g \iff g \propto f
\]
Ambas compartilham o mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade.
3. Transitiva
Se (f) é proporcional a (g) e (g) é proporcional a (h), então:
\[
f \propto g \propto h.
\]
A demonstração mostra que:
\[
f(x) = \alpha g(x), \quad g(x) = \beta h(x) \Rightarrow f(x) = \alpha\beta, h(x).
\]
Como o produto de constantes é constante, a proporcionalidade se mantém.
Como Resolver Relações de Proporcionalidade
Alguns procedimentos preservam a proporcionalidade:
- multiplicar ambos os termos por um mesmo valor;
- inverter ambos os termos;
- eliminar constantes comuns.
Entre os métodos mais usados estão:
- Regra de três simples (multiplicação cruzada);
- Regra de três composta;
- Dedução de proporcionalidade a partir de equações, como na equação de Clapeyron:
\[
P(t),V(t) = n(t),R,T(t).
\]
Formas de Proporcionalidade
| Tipo de Proporcionalidade | Simbologia | Exemplo |
|---|---|---|
| Variação proporcional | \( \Delta a \propto \Delta b \) | Retas paralelas |
| Diretamente proporcional | \( a \propto b \) | Semelhança de triângulos |
| Inversamente proporcional | \( ab \propto 1 \) | Lei de Boyle-Mariotte |
| Proporcional ao quadrado | \( a \propto b^2 \) | Volume de uma esfera |
| Inversamente proporcional ao quadrado | \( ab^2 \propto 1 \) | Gravitação universal |
| Proporcional ao cubo | \( a \propto b^3 \) | Pirâmides semelhantes |
| Inversamente proporcional ao cubo | \( ab^3 \propto 1\) | Forças de dipolo |
| Quadrado proporcional ao cubo | \( a^2 \propto b^3 \) | 3ª lei de Kepler |
| Divina proporção | \( \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \) | Proporções do Homem vitruviano |
Proporcionalidade Inversa
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma delas é proporcional ao inverso da outra:
\[
a \propto b^{-1} \iff b \propto a^{-1}.
\]
Isso implica:
\[
ab \propto 1.
\]
Divina Proporção
A razão áurea \((\varphi \approx 1,618)\) aparece quando duas grandezas mantêm uma proporcionalidade especial:
\[
\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.
\]
Essa relação é famosa na arte, arquitetura e estudo da estética.
Aplicações
A proporcionalidade aparece diariamente em situações práticas e é uma ferramenta essencial na análise dimensional dentro das ciências experimentais. Também possui um papel importante nas artes, especialmente em estudos de composição e estética.
Linearização
Apesar de simples, nem sempre as grandezas físicas se relacionam de forma proporcional direta. Porém, técnicas como troca de variáveis, linearização e expansão em séries de Taylor permitem transformar relações não lineares em modelos de proporcionalidade direta, ao menos localmente.