Resolução de 36 Equações Quadráticas: Fórmula Quadrática

Equações quadráticas são equações polinomiais de segundo grau da forma \( ax^2 + bx + c = 0 \), onde \( a \neq 0 \). Para resolver essas equações, podemos usar a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

Resolução de 36 Equações Quadráticas: Fórmula Quadrática

a) \( x^2 – 5x + 4 = 0 \)

Para resolver essa equação, identificamos os coeficientes \( a = 1 \), \( b = -5 \) e \( c = 4 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 16}}{2} \]

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \]

\[ x = \frac{5 \pm 3}{2} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{5 – 3}{2} = 1 \]

b) \( 3x^2 – 27 = 0 \)

Primeiro, simplificamos a equação dividindo todos os termos por 3:

\[ x^2 – 9 = 0 \]

Isso pode ser reescrito como:

\[ x^2 = 9 \]

Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

\[ x = \pm \sqrt{9} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = 3 \]

\[ x_2 = -3 \]

c) \( -4x^2 + 36x = 0 \)

Primeiro, podemos fatorar a equação:

\[ -4x(x – 9) = 0 \]

Isso nos dá duas soluções possíveis:

\[ -4x = 0 \quad \text{ou} \quad x – 9 = 0 \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = 0 \]

\[ x_2 = 9 \]

d) \( 6x – x^2 + 5 = 0 \)

Reorganizamos a equação na forma padrão:

\[ -x^2 + 6x + 5 = 0 \]

Multiplicamos todos os termos por -1 para facilitar a aplicação da fórmula quadrática:

\[ x^2 – 6x – 5 = 0 \]

Aplicando a fórmula quadrática, onde \( a = 1 \), \( b = -6 \), e \( c = -5 \):

\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} \]

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} \]

\[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} \]

\[ x = 3 \pm \sqrt{14} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = 3 + \sqrt{14} \]

\[ x_2 = 3 – \sqrt{14} \]

e) \( 2 – x + x^2 = 0 \)

Reorganizamos a equação na forma padrão:

\[ x^2 – x + 2 = 0 \]

Aplicamos a fórmula quadrática, onde \( a = 1 \), \( b = -1 \), e \( c = 2 \):

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 – 8}}{2} \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} \]

Como a raiz de um número negativo não tem solução real, as soluções são números complexos:

\[ x = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2} \]

\[ x_2 = \frac{1 – i\sqrt{7}}{2} \]

f) \( 2x^2 + 3x + 1 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 2 \), \( b = 3 \), e \( c = 1 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 – 8}}{4} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{4} \]

\[ x = \frac{-3 \pm 1}{4} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-3 – 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

g) \( 3x^2 – 4x + 2 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 3 \), \( b = -4 \), e \( c = 2 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \]

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 24}}{6} \]

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{6} \]

\[ x = \frac{4 \pm 2i\sqrt{2}}{6} \]

\[ x = \frac{2 \pm i\sqrt{2}}{3} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{2 + i\sqrt{2}}{3} \]

\[ x_2 = \frac{2 – i\sqrt{2}}{3} \]

h) \( 4x^2 + x – 3 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 4 \), \( b = 1 \), e \( c = -3 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{8} \]

\[ x = \frac{-1 \pm 7}{8} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

\[ x_2 = \frac{-1 – 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]

i) \( 5x^2 – 2x + 1 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 5 \), \( b = -2 \), e \( c = 1 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} \]

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 20}}{10} \]

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{10} \]

\[ x = \frac{2 \pm 4i}{10} \]

\[ x = \frac{1 \pm 2i}{5} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{1 + 2i}{5} \]

\[ x_2 = \frac{1 – 2i}{5} \]

j) \( 6x^2 + 7x + 3 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 6 \), \( b = 7 \), e \( c = 3 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 – 4 \cdot 6 \cdot 3}}{2 \cdot 6} \]

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 – 72}}{12} \]

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{-23}}{12} \]

\[ x = \frac{-7 \pm i\sqrt{23}}{12} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{-7 + i\sqrt{23}}{12} \]

\[ x_2 = \frac{-7 – i\sqrt{23}}{12} \]

k) \( 7x^2 – 5x + 2 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 7 \), \( b = -5 \), e \( c = 2 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \cdot 7 \cdot 2}}{2 \cdot 7} \]

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 56}}{14} \]

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{-31}}{14} \]

\[ x = \frac{5 \pm i\sqrt{31}}{14} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{5 + i\sqrt{31}}{14} \]

\[ x_2 = \frac{5 – i\sqrt{31}}{14} \]

l) \( 8x^2 + 3x – 1 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 8 \), \( b = 3 \), e \( c = -1 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4 \cdot 8 \cdot (-1)}}{2 \cdot 8} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 32}}{16} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{16} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{41}}{16} \]

\[ x_2 = \frac{-3 – \sqrt{41}}{16} \]

m) \( 9x^2 – 6x + 4 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 9 \), \( b = -6 \), e \( c = 4 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 – 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9} \]

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 144}}{18} \]

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{-108}}{18} \]

\[ x = \frac{6 \pm 6i\sqrt{3}}{18} \]

\[ x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{3} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{3} \]

\[ x_2 = \frac{1 – i\sqrt{3}}{3} \]

n) \( 10x^2 + x + 5 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 10 \), \( b = 1 \), e \( c = 5 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 10 \cdot 5}}{2 \cdot 10} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 – 200}}{20} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{-199}}{20} \]

\[ x = \frac{-1 \pm i\sqrt{199}}{20} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{-1 + i\sqrt{199}}{20} \]

\[ x_2 = \frac{-1 – i\sqrt{199}}{20} \]

 o) \( x^2 + 10x + 10 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 1 \), \( b = 10 \), e \( c = 10 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 – 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 – 40}}{2} \]

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{60}}{2} \]

\[ x = \frac{-10 \pm 2\sqrt{15}}{2} \]

\[ x = -5 \pm \sqrt{15} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = -5 + \sqrt{15} \]

\[ x_2 = -5 – \sqrt{15} \]

  p) \( 2x^2 – 8x + 7 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 2 \), \( b = -8 \), e \( c = 7 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2} \]

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 – 56}}{4} \]

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{4} \]

\[ x = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{4} \]

\[ x = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ x_2 = 2 – \frac{\sqrt{2}}{2} \]

  q) \( 3x^2 + 12x + 6 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 3 \), \( b = 12 \), e \( c = 6 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 – 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3} \]

\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 – 72}}{6} \]

\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{72}}{6} \]

\[ x = \frac{-12 \pm 6\sqrt{2}}{6} \]

\[ x = -2 \pm \sqrt{2} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = -2 + \sqrt{2} \]

\[ x_2 = -2 – \sqrt{2} \]

 r) \( 4x^2 – 14x + 9 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 4 \), \( b = -14 \), e \( c = 9 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 – 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4} \]

\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 – 144}}{8} \]

\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{52}}{8} \]

\[ x = \frac{14 \pm 2\sqrt{13}}{8} \]

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{4} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{4} \]

\[ x_2 = \frac{7 – \sqrt{13}}{4} \]

  s) \( 5x^2 + 3x – 5 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 5 \), \( b = 3 \), e \( c = -5 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-5)}}{2 \cdot 5} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 100}}{10} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{109}}{10} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{109}}{10} \]

\[ x_2 = \frac{-3 – \sqrt{109}}{10} \]

  t) \( 6x^2 – 9x + 6 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 6 \), \( b = -9 \), e \( c = 6 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 – 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} \]

\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 – 144}}{12} \]

\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{-63}}{12} \]

\[ x = \frac{9 \pm 3i\sqrt{7}}{12} \]

\[ x = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{3 + i\sqrt{7}}{4} \]

\[ x_2 = \frac{3 – i\sqrt{7}}{4} \]

  u) \( 7x^2 + 9x + 4 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 7 \), \( b = 9 \), e \( c = 4 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 – 4 \cdot 7 \cdot 4}}{2 \cdot 7} \]

\[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 – 112}}{14} \]

\[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{-31}}{14} \]

\[ x = \frac{-9 \pm i\sqrt{31}}{14} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{-9 + i\sqrt{31}}{14} \]

\[ x_2 = \frac{-9 – i\sqrt{31}}{14} \]

  v) \( 8x^2 – 11x + 5 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 8 \), \( b = -11 \), e \( c = 5 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 – 4 \cdot 8 \cdot 5}}{2 \cdot 8} \]

\[ x = \frac{11 \pm \sqrt{121 – 160}}{16} \]

\[ x = \frac{11 \pm \sqrt{-39}}{16} \]

\[ x = \frac{11 \pm i\sqrt{39}}{16} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{11 + i\sqrt{39}}{16} \]

\[ x_2 = \frac{11 – i\sqrt{39}}{16} \]

  w) \( 9x^2 + 8x – 7 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 9 \), \( b = 8 \), e \( c = -7 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 – 4 \cdot 9 \cdot (-7)}}{2 \cdot 9} \]

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 252}}{18} \]

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{316}}{18} \]

\[ x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{79}}{18} \]

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{79}}{9} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{79}}{9} \]

\[ x_2 = \frac{-4 – \sqrt{79}}{9} \]

 x) \( 8x^2 – 12x + 6 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 8 \), \( b = -12 \), e \( c = 6 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 – 4 \cdot 8 \cdot 6}}{2 \cdot 8} \]

\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 -192}}{16} \]

\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{-48}}{16} \]

\[ x = \frac{12 \pm 4i\sqrt{3}}{16} \]

\[ x = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{4} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{3 + i\sqrt{3}}{4} \]

\[ x_2 = \frac{3 – i\sqrt{3}}{4} \]

  y) \( 9x^2 + 9x – 8 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 9 \), \( b = 9 \), e \( c = -8 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 – 4 \cdot 9 \cdot (-8)}}{2 \cdot 9} \]

\[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 288}}{18} \]

\[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{369}}{18} \]

\[ x = \frac{-9 \pm 3\sqrt{41}}{18} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{6} \]

Portanto, as soluções são:

\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{41}}{6} \]

\[ x_2 = \frac{-3 – \sqrt{41}}{6} \]

  z) \( 10x^2 – 13x + 9 = 0 \)

Identificamos os coeficientes \( a = 10 \), \( b = -13 \), e \( c = 9 \). Aplicando a fórmula quadrática:

\[ x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 – 4 \cdot 10 \cdot 9}}{2 \cdot 10} \]

\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{169 – 360}}{20} \]

\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{-191}}{20} \]

\[ x = \frac{13 \pm i\sqrt{191}}{20} \]

Portanto, as soluções são números complexos:

\[ x_1 = \frac{13 + i\sqrt{191}}{20} \]

\[ x_2 = \frac{13 – i\sqrt{191}}{20} \]

Conclusão

Resolvemos uma série de equações quadráticas utilizando a fórmula quadrática e, em alguns casos, encontramos soluções complexas. Este processo destaca a versatilidade da fórmula quadrática na resolução de equações de segundo grau, independentemente da natureza dos coeficientes.