Números Complexos: Operações, Forma trigonométrica, Potenciação e radiciação

Mergulhe no mundo dos números complexos e descubra os meandros desse conceito matemático. Este artigo explora as operações fundamentais com números complexos, a representação geométrica no plano complexo e a forma trigonométrica de um número complexo.

Além disso, abrange tópicos avançados, como exponenciação e extração de raízes. Se você é um estudante ou um matemático experiente, este guia fornece uma compreensão completa dos números complexos e suas aplicações.

Expanda seus conhecimentos matemáticos e aprimore suas habilidades de resolução de problemas com esta exploração aprofundada de números complexos.

Conceito

Um número complexo é um número da forma: z = 𝑎 + 𝑏𝑖 em que 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑖 é chamado número imaginário. o número 𝑎 é chamado parte real e o número 𝑏 é a parte imaginária. o número imaginário é a raiz quadrada de − 1, isto é, 𝑖 =$\sqrt{1}$ ⟺ 𝑖² = −1

Notação:

o conjunto dos números complexos é designado pela letra 𝑪. O conjunto 𝑪 é o maior conjunto, pois, temos que: 𝑵 ⊂ 𝒁 ⊂ 𝐐 ⊂ 𝑹 ⊂ 𝑪

𝑵 é o conjunto dos números naturais; 𝒁 é o conjunto dos números inteiros; 𝐐 é o conjunto dos números racionais; 𝑹 é o conjunto dos números reais; 𝑪 é o conjunto dos números complexos.

Exemplos de números complexos

1. 𝑧 = 3 + 2𝑖: a parte real do número é 3 e a parte imaginária o número 2.
2. 𝑧 = −1 + 𝑖: −1 é a parte real e 1 é a parte imaginária.
3. 𝑧 = −5𝑖 a parte real é 0 e a parte imaginária é 5.
4. 𝑧 = 4 : a parte real é 4 e a parte imaginária é 0.

Nota: um número complexo com parte imaginária nula é chamado real puro e um número complexo com a parte real nula é chamado de imaginário puro.

Representação geométrica de números complexos

Todo número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 pode ser representado no plano cartesiano como um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) onde a abcissa é a parte real e a ordenada a parte imaginária.

Módulo e argumento de um número complexo

O módulo de um número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é dado por |z|=$\sqrt{a^2+b^2}

O argumento de um número 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é o ângulo que o número 𝑧 faz com o semieixo positivo das abcissas.

Operações com números complexos Igualdade de números complexos:

Dois números complexos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 são iguais se as partes reais e as partes imaginárias são iguais, ou seja:
𝑧 = 𝑤 ⟺ 𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑
Exemplo: determine 𝑥 e 𝑦 de modo que: 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 6𝑖 e 𝑤 = 5 + 𝑥 + 4𝑦 𝑖 sejam iguais

Adição:

Sejam 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖. A Soma de dois números complexos é:

𝑧 + 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
Exemplos:
Sejam 𝑧 = 2 + 3𝑖 e 𝑤 = 5 + 4𝑖
Adição 𝑧 + 𝑤 = 2 + 3𝑖 + 5 + 4𝑖= 7 + 7i

Subtração de número complexo

Chama-se diferença de dois números complexos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ao
número.
𝑧 − 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 − (𝑐 + 𝑑𝑖)
= 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖
Exemplo:
𝑧 = 2 + 5𝑖 e 𝑤 = −4 − 7𝑖
𝑧 − 𝑤 = 2 + 5𝑖 − (−4 − 7𝑖)
= 6 + 12i

Produto de dois números

Chama-se produto de dois números complexos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ao
número
𝑧 ∙ 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑐 + 𝑑𝑖
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
Exemplo:
𝑧 ∙ 𝑤 = (2 + 3𝑖) ∙ (5 + 4𝑖)
= 2 ∙ 5 − 3 ∙ 4 + (2 ∙ 4 + 3 ∙ 5)𝑖
= 10 − 12 + (8 + 15)

O conjugado do número complexo

O conjugado do número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 denotado por 𝑧 = (𝑎 + 𝑏𝑖), é
𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖.
Exemplo:
O conjugado complexo do número
𝑧 = −1 + 𝑖 é 𝑧 = −1 − 𝑏𝑖.